劉雲平在台北市出生，後隨父母移民至俄亥俄州克里夫蘭，在此長大。1991年在史丹福大學取得計算機科學理科學士以及政治科學文學士學位。1994年在乔治城大学法律中心取得法學博士。

2014年1月，刘云平投票支持加州参议院SCA-5法案。该法案提议删除加州 Proposition 209 中有关公众教育不得种族歧视条款。加州 Proposition 209 禁止政府在公众教育、政府雇员和政府采购领域根据种族、性别、肤色、出身背景和来源国因素歧视任何民众。但刘云平后来改变立场，协助搁置SCA-5法案。

刘云平在2014年11月美國中期選舉中，以55%的得票率成功击败对手，成为继赵美心、孟昭文之后第三位华裔众议员。