数学名师邹同在“亲子阅读”群的讲座

2015.1.2

主持人晓鹿：

我们很荣幸地请来了硅谷数学名师邹老师给我们谈谈各个年龄段的孩子如何学好数学。 

邹老师是名校伯克利大学的数学博士候选人， 硅谷最好的两个数学老师之一， 深受学生和家长爱戴，他教出的学生们在美国各级数学竞赛中取得优异成绩。他也是个教子有方的父亲， 他的大儿子高中毕业后被名校麻省理工学院录取， 现在也是数学博士。邹老师家是数学世家。 邹老师的父亲是数学教授， 邹老师的太太也是伯克利的数学博士。

有请邹老师。

邹老师：

大家好！非常感谢晓鹿邀请我来给大家分享一下学习数学的一些经验，我先简单介绍下我自己是怎么开始教孩子的吧。

最早的时候，我伯克利毕业以后一直做软件工作。我大儿子从小开始就参加数学方面的一些竞赛，也没有花太多功夫，觉得比较轻松。后来到小儿子的时候，我就发现，他好像没有大儿子的那个天赋，所以我就开始想一些别的方法来教他。

于是我就开始组织起一些学生，他的一些好朋友，大概五六个孩子，我们一起组织了一个数学学习小组，开始给他们教数学。教着教着发现我也挺喜欢干这行的，所以到如今也是教了差不多五六年了吧？四五年了，一直到现在。这个就是比较简单的，我怎么开始的。

小学数学

那我想先从这个小学的数学教育开始讲，因为小学生是非常关键的一个阶段。教小学生的话我太太教得比较多，我主要是教高中生和初中生，但是我也从她这边了解了小学生主要碰到的一些问题。

其实数学要学好从小学生就应该开始抓起来了。最怕就是孩子在小学的时候养成一些坏习惯。我发现很多在美国上学的孩子，很多都养成一种非常糟糕的坏习惯，到后头改起来那就非常的困难。

小学生最重要的是要培养他对数字的敏感性。比如说数数小学一年级开始数数就要很熟练。

数会数了以后呢，你就可以教他跳着数，比如两个两个数，三个三个数，四个四个数之类的。

我们在教的过程中发现美国老师教孩子跳着数数的方法不是很好。 比如两个两个数的话，他们会教2，4，6，8，三个三个就会教3，6，9，12。 这个教法没有把跳着数的本质教给孩子们，所以他们很多时候还是搬着手指头在试。

那么教“跳着数”要让孩子还是用1，2，3来数，比如说1，2；2，2；3，2；4，2这么数，或者是1，3；2，3；3，3；4，3这么数，这样的话他就知道我还是在数1，2，3，只不过我是两个两个数或者三个三个数，这个就有乘法的概念在里头了，以后背乘法表或者九九口诀表就很容易 。

二三年级孩子要尽早背好九九表。

小学生的教育家长一定要非常的投入，不能把什么东西都交给老师或者靠学校，除非孩子特别自觉，自身能力很强。一般的孩子，在这个时候，一律是要家长非常的支持。

家长最关键的问题就是一定要对小孩有耐心。我发现很多孩子不愿意父母教他们是因为家长欠缺耐心。很多时候父母教了一遍，觉得：唉你怎么还不会？教了两遍……教好几遍了发现还不会，心里这个火就上来了：怎么还不开窍啊！ 这个态度对孩子的自信心是一个打击，会让他们不想学，产生厌学情绪。

小孩子这个阶段一定要注重培养他的兴趣。生活中到处都是数学。家长跟小孩子有很多游戏可以玩。比如说，我们小时候经常玩的二十四点是非常好的一个数学游戏。比说你到商店里去，你就可以鼓励孩子：我这里有五块钱，如果你能把这五块钱全部都花掉，刚刚好的话，那么你就可以拿去买东西。孩子他就会计算，这个商品多少价，那个商品多少价，怎么加起来正好等于五块钱。类似这些日常生活中的数学，都可以随时随地让孩子训练。

七巧板培训孩子对几何图形的概念，也是非常好的一个游戏。还有其它游戏，比如KenKen Puzzle是通过加减乘除怎么运算，得出什么数字来，这些都是一些很好的puzzle。 还有一些逻辑趣味题，或者下棋之类，都能提高孩子的逻辑思维能力。

你如果在亚马逊网站上搜索Math Circle, 你会发现有很多Math Circle的书，很多这种书适合小学生读。 家长可以跟小孩子一起读，一起做题，一定要有足够的耐心培养孩子的兴趣。

我推荐几本好书。 Pickover写的The Math Book 和 Passion for Mathematics：

还有Becoming a Problem Solving Genius， by Edward Zaccaro。 讲数学历史和讲数学家故事的书也可以提高孩子的兴趣。

我们小时候看的唐老鸭漫游数学奇境，在Youtube上可找得到。 我觉得生活中到处都是数学，比如在买东西的时候，就可以让孩子帮着算价钱。家长首先自己要感兴趣，然后才能培养孩子的兴趣。

我现在再讲讲很多孩子的一些通病。 美国学生的通病是孩子不愿意动笔，他看着题目就是不动笔，光用脑子想。我们一定要培养他动笔，让他自己去试，比如画一画图啊或者是写一些东西出来，一定要动笔，他不能光是盯着题目看。

另外一个问题是孩子的阅读能力。 很多孩子碰到应用题时理解不了题目在说什么，这个就涉及到阅读能力，阅读能力如果提高的话，很多问题就会变得比较简单了 。

在小学的时候呢，我觉得还是要强调一下运算能力，就是一定要有对数字的敏感性。比如说我不是简单地教加法或者乘法、减法，而是让他们怎么以最快的速度来算出这个东西来。比如他看到2+8就想到10，有些数字我们就是要培养这种敏感性, 从小就让他知道1+9、2+8、3+7、4+6、5+5这些都是可以加成10的，加成10以后你就会运算比较方便，像类似的一些对数字的敏感性，要加强一些这方面的训练。

小学部分美国有不少的数学竞赛方面的书都很好。 像MOEMS (Math Olympiad for Elementary Schoolshttp://moems.org/ )，里边有很好的题目，我太太教的时候都会用到。Mathleague 有两个， Mathleague.com (http://www.mathleague.com/ )和Mathleague.org （http://mathleague.org/）, 这是两个不同的比赛，这些题目都不错，比较多样性。亚马逊网站上可以买到这类书。

还有其他的一些小学课本比如新加坡的数学书（Singapore Math）或者晓鹿介绍过的Beast Academy都是很好的书。 Beast Academy 用动画的形式来讲数学，其实有很深的概念在里头。

小学数学概念中容易犯错误的地方就是除法。美国小学教除法是这样的：8 ÷ 3他们会写成8 ÷ 3 ＝ 2R2，表明商是2余数是2。这种教法有很大问题，因为8 ÷ 3＝ 2R2 不是一个方程，所以以后会有很多问题出来。

学除法，最正确的方法应该是写成 8 = 2x3 + 2，把余数、被除数和商变成一个方程，这是正确写法。以后小孩学到多项式除法，这个就是比较好的方法。美国有太多的孩子不知道，没有真正理解除法的概念。 商、余数、除数之间的这些关系，是非常重要的一个概念，一定要搞得非常清楚。

另外的难点是百分比和比例。 很多孩子也不是很清楚分数的概念。我建议一方面需要一定量的练习，另一方面要对数轴有一个比较直观的概念，就是这个数字都对应数轴上的一个点。这个数轴上加减乘除是怎么一回事，让他们有一个比较直观的概念。

初中数学竞赛

我现在开始讲讲初中数学竞赛和初中其它的数学学习。初中有几个数学竞赛，像AMC8和MATHCOUNT。 这两个竞赛都讲究速度，需要学生很短时间内做出很多道题。六七年级的学生可以做AMC8和和MATHCOUNT 。

MATHCOUNT 题目比较多样一点，对孩子来说趣味性还是蛮强的。网上就有题目可以买。 

Art of Problem Solving(AOPS)（http://www.artofproblemsolving.com/）上有很多MathCount的题目。 AOPS 不光有题可以练习，它还有一个叫ALCUMUS的题库， 按不同的项目， 比如代数， 几何， 数论， 概率等分类联系，学生可以直接在网上做题，每做对一道题会按题目难易程度得到点数， 累积点数越多学生越有成就感。 做错的题学生可以选择马上看答案。 AOPS还有一个游戏叫For The Win!， 学生们简称它为FTW， 是训练速度的， 你可以在这个游戏里跟来自全世界的数学爱好者比速度和准确率。这个训练对想要参加AMC的学生很重要， 对想要在Mathcount进入Count Down阶段的学生尤其重要。

AOPS上还有不少的视频，像讲Counting, Pre-Algebra, 和Algebra等。 学生如果买了AOPS的书，可以直接看着上面的视频来学习。

到了七八年级的时候，目标就不要太在乎初中的数学竞赛，可以考虑高中的数学竞赛，像AMC10和和AMC12，或者是更高层次的一些数学竞赛。

高中数学竞赛

AMC10很大一部分是几何。几何在美国是一个弱项，因为美国学生基本上只有一年学习几何，很多时间是学习了所谓双列证明，这个在我看来意义不是特别大，没有真正学证明的精髓，只是用比较机械的方法把证明写出来。所以几何对美国孩子来说比较弱一点。

我建议用AOPS的Introduction To Geometry书来训练。那里面的题目还是相当不错的。 几何还有一个很有趣的就是它叫construction, 怎么样用圆规和直尺来construct。这是个很有趣的游戏，我记得有一个专门的网站你可以在上面直接用圆规和直尺来做construction，然后他给你一些挑战。 具体的网站名字我忘了，可能得查一查，应该可以查得到。还有一些网站也有很不错的题目，像www.brilliant.org, www.clevermath.org, 等。

AMC10和AMC12如果过了就可以晋级到下一轮AIME, 就是美国数学邀请赛。 每年大概有不到一万人能够晋级，所以如果能进AIME就已经非常非常不错了，尤其是女孩子。在美国这边女孩子学数学学得好的话优势是非常大的，因为很多理工学校，像MIT，其实是很喜欢数学好的女孩子。

如果AIME再考得不错的话， 下一层次就是USAJMO(United States of America Junior Mathematical Olympiad)和USAMO(United States of America Mathematical Olympiad)。这个人数就更少了，每年加起来也就五百人左右。然后再从这几百人里头选二三十个人到夏令营，再从夏令营里选六个人代表美国参加国际奥林匹克数学竞赛。学生如果能到夏令营这个层次，基本上申请任何大学都不成问题了。

刚才我大概介绍了一下在美国学生参加的一些主要数学竞赛，再加上小学生学习数学的一些经验。大家看有没有什么问题，我再针对性地讲一下。

问答

问： 题目复杂一点孩子就不愿意做了，比较烦躁，有什么方法？

答：我先回答一下晓鹿给我发的几个家长的一些问题。第一个问题我在前面已经讲了不少了，后面两个问题差不多是类似问题，就是说题目复杂一点孩子就不愿意做了，比较烦躁，有什么方法。

这个实际上是很多孩子的一个通病。因为他没有掌握方法，很多时候他不知道该怎么去想。这个时候，需要家长一定要非常有耐心，要给一些循序渐进的题目，不要一下子给的太难。一下子太难的话超出他的承受能力。

还有一个方法是可以找一些好朋友，几个孩子一起学，大家有竞争的意识，看看谁先做出来呀之类的，这样孩子可以更有兴趣些。所以组织一个学习小组是非常有效的方式。

还有一点就是注意培养孩子对数学的兴趣。 日常生活都是数学，孩子总是有很多感兴趣的地方。比如说我小儿子小时候对折纸很感兴趣。折纸和数学有很大的关系，很多折纸艺术是通过数学来算出来的。物理呀天文呀跟数学都有关系，家长要注意把这些东西联系起来。

家长培养孩子的自信心是非常重要的，一定不要摧毁孩子自信心。千万不要说“你怎么这么蠢啊”“你怎么这么没笨啊”这类话，或者把他跟别的孩子比较，这个实际上都是摧毁孩子自信心的。一定要让孩子在循序渐进的过程中逐渐觉得自己也可以做很难的题，自己也可以慢慢进步很快。家长一定要有耐心。

问： 如何准备AMC10？

答： 我再多讲讲怎么准备AMC10。

AMC10题目主要是代数和几何，还是需要一定的练习度。AOPS Volume 1这本书里很多题目比较适合AMC10，但是我还没有看到一本针对AMC10的特别好的书。所以平常就是需要多练， 比如多做Alcumus, 关键是要针对自己的弱点，看看自己的弱点到底在哪个方面, 如果Counting薄弱，就针对Counting多练练。另外，考试的时候一定要有一些策略，碰到不会的题，或者是一下子不知道怎么做的题，先做一个记号，然后略过，等别的题做完以后，再回头来看。

还有另外一点很重要，就是会做的题千万不要搞错了，题目一定要搞清楚。有太多的孩子题目都没有搞清楚，就慌慌张张就开始答题。这个就很不好，他可能就完全答错。

首先题目要搞清楚，另外不要粗心。草稿纸一定要争取写得清清楚楚。

以上这些好习惯也是要从小开始训练的，小学生就要养成一些好的习惯。数字要写清楚，很多时候小孩子数字写不清楚，他可能就把5看成3了或者看成其它的什么数字了。这个都是非常常见的通病，所以这就是为什么我花了很多时间在讲小学生，实际上这是最关键的一个时候，一定要养成一个好习惯。

问：我的孩子做数学题时对没有接触过的题型就会懵，怎么办？

答： 要找到一个比较好的老师。我在教学的过程中注重启发孩子的创造性思维能力。 说实话我不是特别赞同中国的题海战术，因为题海战术会抹杀孩子的创造性思维。

我经常会给学生出一些出其不意的题目，然后一步一步启发孩子怎么去思考问题，怎么分析问题，怎么抽丝剥茧地把它变成我们见到过的题型，或者是我们已经知道的知识上面。

我在这里顺便讲讲解题方面的思路。所谓难题一般来说它就是一种伪装，它把真相掩藏起来，就好像剥洋葱皮一样，一层一层的皮在包裹真正的东西。孩子一定要养成一个习惯，总是要问自己：这个问题我怎么样能够把它简化？我怎么样能够把这个题目跟我已知的东西联系起来？这个题目是不是跟以前做过的题目比较像？这方面他就要多思考一下，看看能不能够找出这之间的关系。

当然这里头很多的技巧都是需要进一步的训练才行。其实人的大脑就像人身上的肌肉一样，你要不断地训练它，它才会越来越灵活。像我现在不太锻练，肌肉就松驰了，举很重的东西就举不起来。大脑也是这样，它就是一种肌肉，你是可以训练出来的。当然每个孩子确实有天赋的差异, 但是这个天赋的差异实际上是可以通过后天的努力来弥补的。就是通过有目标、有计划的训练可以达到一个相当高的水平的。

问：Which classes needed to be taken before taking AMC 10 and AMC 12?

答： 要学过几何， 可以自学排列组合。

问： 能列一下数学竞赛级别顺序吗？

答： Mathcounts, AMC8, AMC10, AMC12, AIME, USAJMO, USAMO, IMO

问：初二男孩，以前数学还可以，目前没有和主动学习意识

答：男孩子这个年龄是比较贪玩的。 要注意引导孩子的兴趣。 我推荐的书可以买给孩子看。

问：在学校里学习数学轻松的孩子如何进一步提高？

答： 在学校里学习数学比较轻松的孩子可以训练数学竞赛。数学竞赛对思维是一种非常好的训练。不是说数学竞赛一定为了拿名次，数学竞赛是很好的思考能力、分析能力和解决问题方面的训练。